لینک پرداخت و دانلود در "پایین مطلب"
فرمت فایل: word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحات:7
روش ژاکوبی برای حل مسائل غیر خطی
روش ژاکوبی در واقع تعمیمی از روش سیمپلکس برای حل مسائل خطی می‌باشد یا به عبارت دیگر روش ژاکوبی در حالتی خاص همان روش سیمپلکس می‌باشد.
- تئوری روش مشتق مقید(ژاکوبی)
فرض میشود که توابع g, f دو بار پیوستة مشتق پذیر باشند (از ردة C2). ایدة روش ژاکوبی یافتن گوی بسته ای است که در تمام نقاط آن مشتق های جزئی مرتبه اول موجود و شرط g(x)=0 برآورده گردد. همان طور که می دانیم نقاط بحرانی نقاطی اند که مشتقات جزئی تابع در آنها صفر گردد.
برای شناسایی نقاط بحرانی از شرایط کافی به شرح زیر استفاده می کنیم:
شرایط کافی برای نقطة بحرانی جهت اکسترمم بودن آن است که ماتریس هسیان محاسبه شده در نقطه
- هنگامی که می نیمم است مثبت باشد .
- هنگامی که ماکزیمم است منفی باشد .
برای روشن کردن این مفهوم تابع f(x1 , x2) را در نظر می گیریم. هدف می نیمم کردن تابع با توجه به محدودیت g1(x1 , x2) = x2 - b=0 می‌باشد. (b ثابت است.) منحنی ایجاد شده توسط سه نقطة C , B , A مقادیری از f را نمایش میدهد که محدودیت اعمال شده همواره برآورده می گردد. روش ژاکوبی، گرادیان f(x1 , x2) را در هر نقطه ای از منحنی ABC تعریف می‌کند. هر نقطه ای که مشتق آن برابر صفر گردد نشان دهنده یک نقطه بحرانی برای این مسئله مقید می‌باشد که در شکل زیر نقطة B ، نقطه موردنظر می‌باشد.
با استفاده از ق تیلور برای نقاط در همسایگی قابل قبول x داریم:
هنگامی که خواهیم داشت:
و از آنجا که g(x)=0 در نتیجه بنابراین خواهیم داشت:
حال یک دستگاه با (n+1) مجهول و (m+1) معادله خواهیم داشت که مجهولاتمان درایه‌های می باشند با مشخص شدن پیدا میشود. و این بدان معناست که در واقع m معادله با n مجهول داریم. اگر m>n آن گاه حداقل (m-n) معادله زائد می باشند. پس از حذف آنها، سیستم به تعداد کارایی از معادلات مستقل مانند کاهش خواهد یافت. برای حالتی که m=n باشد جواب می‌باشد و این نشان دهنده آن است که X همسایگی قابل قبول ندارد و فضای حل تنها از یک نقطه تشکیل یافته است. در اینجا این حالت موردنظر نیست و ما به بررسی حالت m < n میپردازیم.
مقاله درباره روش ژاکوبی برای حل مسائل غیرخطی (رشته ریاضی کامپیوتر)
