تحقیق درباره ی تنش

اختصاصی از ژیکو تحقیق درباره ی تنش دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک پرداخت و دانلود پایین مطالب:

فرمت فایل:word(قابل ویرایش)

تعداد صفحه:49

تنش

 تعریف تنش

در حالت کلی همانطور که در اشکال 1-1- ب و 1-1-ب، نشان داده شد، نیروهای داخلی که در روی سطوح بینهایت کوچک یک مقطع عمل می کنند، از لحاظ مقدار و جهت با یکدیگر متفاوت می باشند. این موضوع دوباره در شکل 3-1، نمایش داده می‌شود.

نیروهای داخلی از لحاظ طبیعت، کمیتهایی برداری هستند و نیروهای مؤثر خارجی را در تعادل نگه می دارند. در مکانیک جامدات تعیین شدت این نیروها در نقاط مختلف یک مقطع بسیار مهم می باشد. در حالت کلی شدت این نیروها از نقطه ای به نقطة دیگر فرق می کند و نسبت به سطح مقطع مایل هستند. رسم بر این است که این شدتها به مؤلفه های قائم و موازی مقطع تحت مطالعه، تجزیه شوند. به عنوان مثال،؟ مؤلفه های بردار نیروی  که روی سطح  عمل می کند در شکل 3-1-ب، نشان داده شده است. در این مثال بخصوص، چون منطقی که جسم را به دو قسمت تقسیم کرده، عمود بر محور x می باشد، امتداد  منطبق بر امتداد عمود بر  می باشد. نیروی وارد بر واحد سطح که همان شدت نیروی گسترده بر روی سطح می باشد، تنش نامیده می شود. در شکل 3-1-ب، تنش متوسط نیروی  برابر  می‌شود.  حال اگر به جای تنش متوسط، تنش در یک نقطه را خواسته باشیم باید در رابطه تنش متوسط،  را به سمت صفر میل دهیم.»

بنابراین تعریف ریاضی تنش به صورت زیر در می آید:

   

شدت نیروی عمود بر مقطع، تنش قائم آن نقطه نامیده می شود. اگر تنش قائم باعث ایجاد کنش در مقطع بشود، به آن تنش کششی می گویند. در مقابل تنشهای قائمی که بر مقطع فشار وارد می آورند، به تنشهای فشاری موسومند. به جای اینکه تنشهای قائم را با حرف  با دو زیرنویس نمایش می دهیم. آنها را با حرف  (زیگما) با یک زیرنویس نمایش می دهیم. مؤلفه های دیگر شدت نیرو به موازات صفحة مقطع عمل می کنند. این مؤلفه ها تنشهای برشی نامیده می شوند. تنشهای برشی همیشه با حرف  نمایش داده می شوند.

واحد رسمی تنش در سیستم بین المللی، نیوتن بر متر مربع است، که پاسکال  نامیده می شود. اما اگر بخواهیم تنشهای معمول را بر حسب این واحد نمایش دهیم با اعداد بزرگی سروکار خواهیم داشت، به همین جهت، تنشها را بر حسب مگاپاسکال (Mpa) و یا بر حسب نیوتن بر میلی متر مربع  بیان می کنیم. این دو واحد با یکدیگر مساوی می باشند.

قرارداد علامت مثبت تنش ها :

1. I.صفحه ای مثبت است که بردار نرمال آن مثبت است .
2. II.صفحه ای مثبت است که بردار نرمال آن جلو باشد .
3. III.روی صفحة مثبت تنش ها وقتی مثبت هستند که در راستای مثبت محور موردنظر باشد .

   

تبدیل ریاضی تنش ها : «ارتباط بین دو دستگاه بالا»

تنش های اصلی :

امتداد صفحات تنشهای اصلی     

تنش های اصلی  

 : معادلة I

 از معادلة I مشتق گرفته

بنابراین تنشهای اصلی همان تنشهای  و min است .

تنش های برش max :

 : معادلة II

از معادلة II نسبت به  مشتق می گیریم :

  :  امتدادهای صفحات تنش های برشی max

با محاسبة  و  و جایگزینی در معادلة  و ساده کردن و خلاصه کردن خواهیم داشت :

نکته : با محاسبة  و  از روی  و جایگذاری در معادلات  و  خواهیم داشت :

تنش های قائم همراه با تنش های برشی max   

مثال : جزء کوچکی مطابق شکل تحت تأثیر تنش های قائم و برشی قرار گفته است . مطلوبست :

الف)محاسبة تنشهای اصلی ، محورهای اصلی و نمایشی تنشها روی المان «جزء سطح»؟

ب)تنشهای برشی max ، امتدادهای مربوطه و نمایش تنشها روی المان «جزء سطح»؟

ج)تنشهای قائم و برشی روی صفحه ای که محور قائم بر آن با افق زاویة 25 درجه می‌سازد ؟

(الف

 = امتداد تنش

(ب

تنش های قائم و همراه تنش های برشی

تانسور تنش

   

اگر علاوه بر مقطعی که بر جسم آزاد شکل 3-1، اعمال شده، مقطعی دیگر به فاصلة بینهایت کوچک از مقطع اول و به موازات آن از میان جسم عبور داده شود، یک قاش اولیه از جسم جدا می شود. حال اگر دو جفت مقطع موازی دیگر، عمود بر دو مقطع اولیه عبور داده میشد، مکعبی با ابعاد بینهایت کوچک از جسم جدا خواهد شد. چنین مکعبی در شکل 3-2، نشان داده شده است. تمام شیبهایی که بر روی این مکعب عمل می کنند، در این شکل نمایان است.

همانطور که در قبل اشاره شد اولین زیرنویس ، تنش را با صفحه ای که روی آن عمل می کند، مربوط می سازد و زیرنویس دوم نشان دهندة جهت تنش است. در وجه نزدیک مکعب، یا به عبارت دیگر در وجهی که از مرکز مختصات دور است، جهت تنشها وقتی مثبت است که منطبق بر جهت مثبت محورها باشند. در وجهی از مکعب که نسبت به مرکز مختصات نزدیکتر است، با استفاده از مفهوم تعادل عمل و عکس‌العمل، تنشهای مثبت در جهتی مخالف با جهت مثبت محورهای مختصات عمل می کنند. (توجه کنید که برای تنشهای قائم با تعویض علامت تنش از  به  یک زیرنویس برای تعریف این کمیت بدون هیچ ابهامی کافی خواهد بود.)

علایم تنش به کار رفته در شکل 3-2 به طور گسترده ای در مسائل ریاضی تئوری ارتجاعی و تئوری خمیری به کار می روند. قرارداد تنش به کار رفته در این شکل یا قرارداد شکل 2-2مطابقت دارد.

بررسی ملایم تنش به کار رفته در شکل 3-2 نشان می دهد که سه مؤلفه تنش قائم  و شش مؤلفة تنش برشی  که در جمع 9 مؤلفه می شوند، وجود دارد. در مقابل همانطور که می دانیم یک بردار نیرو مانند P فقط سه مؤلفه  دارد. این سه مؤلفه می توانند به صورت بردار ستونی زیر نوشته شد:

به طور مشابه مؤلفه های تنش را می توانیم به صورت زیر مرتب کنیم:

رابطه 1 نمایش ماتریسی تانسور تنش می باشد. تانسور تنس، یک تانسور از مرتبه 2 می باشد که برای تعریف هز مؤلفة آن احتیاج به دوزیر نویس داریم. تانسوری از مرتبة اول و اسکالر، تانسوری از مرتبه صفر می باشد. بعضی مواقع برای اختصار تانسور تنش به صورت علامت  نوشته می شود که با توجه به معادله 1، I و j می توانند هریک از علائم x و y و z را اختیار نمایند.

اکنون نشان می دهیم که تانسور تنش مقارن است، به عبارت دیگر  این مسئله مستقیماً از شرایط تعادل یک جزء کوچک نتیجه می شود. برای این منظور ابتدا ابعاد جز بینهایت کوچک را با  نمایش می دهیم و مجموع لنگر نیروهای حاصل از مؤلفه های تنش را حول یکی از محورها، مثلاً z می نمویسیم، شکل 3-2. اگر از بینهایت کوچکهای درجه دوم صرف نظر کنیم، این عمل معادل آن است که لنگرگیری را حول محور z در شکل 3-3-الف و یا در نمایش دو بعدی آن، شکل 3-3-ب، انجام دهیم.

که بترتیب از سمت چپ، پرانتز اولی نشان دهندة تنش، دومی نشان دهندة سطح و سومی نشان دهندة بازو می باشد. با ساده کردن معادله فوق نتیجه می شود:

   

به طور مشابه می توان نشان داد که،  و  بنابراین، زیرنویس تنهشای برشی جابجایی پذیر است و یا به عبارت دیگر جای آنها را می توان عوض و یا در حالت کلی، تانسور تنش متقارن می باشد.

مفهوم معادله 2 خیلی مهم است. این حقیقت که زیرنویس ها جابجایی پذیر هستند این را می رساند که تنشهای برشی مؤثر بر صفحات عمود بر هم یم جزء بینهایت کوچک، از لحاظ عددی مساوی هستند. به علاوه در صورتی امکان تعادل یک جزء بینهایت کوچک وجود دارد که تنشهای برشی به طور همزمان بر چهار وجه آن تأثیر نمایند. این بدان معنی است که در هر جسمی که تنشهای برشی وجود دارد، دو جفت از این تنشها در صفحات عمود برهم عمل می کنند، چون در صورتی که یک جفت از این تنشها وجود داشته باشد، معادلة  ارضاء نمی شود. در ترسیمة شکل 3-3-ب، برای اینکه شرایط تعادل برقرار باشد، پیکانهای تنشهای برشی باید در گوشه ها همگرا و یا واگرا باشند.

در بخشهای آینده که اکثراً با حالات دو بعدی سر و کار داریم، امکان اینکه بیشتر از دو جفت تنش برشی به طور همزمان بر یک جزء بینهایت کوچک اثر کنند، وجود ندارد.

بنابراین زیرنویسهایی که در بالا برای نشان دادن صفحه و جهت تنشهای برشی به کار می رفتند، بی استفاده می شوند.

در چنین حالاتی تنش برشی با علامت  بدون هیچگونه زیرنویسی نشان داده می شود. با وجود این باید به خاطر داشته باشیم که تنش برشی همیشه به صورت دو جفت وجود دارد.

باید خاطر نشان کرد که دستگاه محورهای قراردادی X وY همیشه نمی تواند مهمترین اطلاعات را دربارة حالت تنش در یک نقطه بدهد. بعضی مواقع لازم می شود که مقدار تنش را در صفحات مایل، مانند صفحة ABC در شکل 3-4-الف، به دست آورد. به این عمل تبدیل تنشی از یک دستگاه مختصات به دستگاه دیگر می گویند. حالت دو بعدی این عمل که در شکل 3-4-ب نشان داده شده است در جدول دیگر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

   

با استفاده از روشهای تبدیل تنشها، که بعضی از آنها در فصول آینده مورد بحث قرار خواهند گرفت، در دستگاه مختصات بخصوصی، تانسور تنش به صورت زیر در می‌آید:

برای حالت دو بعدی (تنشهای صفحه ای)  می باشد. توجه کنید که تمام تنشهای برشی ناپدید شده اند. در حالت سه بعدی، چنین وضعیتی تنش سه محوره نامیده می شود. چون سه تنش لازم است که وضعیت تنش را به طور کامل بیان کند. در، حالت دو بعدی، تنشها دو محوره خواهند بود. تنش صفحه ای، در صفحات نازکی که در دو امتداد مختلف تحت تأثیر نیرو قرار دارند، به وجود می آید. برای اعضا با بار محوری، که در بخش دیگر همین فصل مورد مطالعه قرار خواهند گرفت، فقط یک مؤلفة تانسور تنش وجود دارد. چنین حالتی تنش تک محوری نامیده می شود.

نحوة ترسیم دایرة موهر تنش

از آنجایی که روابط بدست آمده در بحث تبدیل تنش ها پایه و اساس ترسیم و تحلیل دایره موهر تنش می باشد؛ پس به یادآوری این روابط بپردازیم:

   

دایره موهر تنش:

دایره موهر تنش راه حل ترسیمی برای مسائل تبدیل تنش ها می باشد که در زیر دلایل استفاده از آن بیان شده است:

1-با تفسیر نموداری روابط تنش دید بهتری نسبت به حالت عمومی مسئله تنش ها ایجاد می شود.

2-با استفاده از این روش می توان راه حل سریعتری برای حالت عمومی مسئله تبدیل تنش ها بدست آورد.

اگر دو رابطه (1-1) و (3-1) را به صورت زیر در اوریم:

و دو طرف دو معادله فوق را مجذور کرده، سپس با هم جمع کنیم؛ پس از ساده کردن به عبارت زیر خواهیم رسید:

(1-4)                

که برای هر مسئله مشخص مقادیر  و  و  ثابت های معلوم و مقادیر  و  متغیر هستند. می توان رابطه (1-4) را به صورت زیر ساده نمود:

(2-4)                

که در آن  و  مقادیر ثابتی می باشند.

در واقع معادله (2-4)، معادله دایره ای به مرکز  و شعاع R است.

به معادله ، معادله دایره موهر تنش می گویند که توسط آقای اتو موهر در سال 1895 برای حل مسائل تنش ارائه گردید.

با توجه بع اینکه در مختصات  معادله دایره به صورت  است می توان معادله دایره  را در مختصات  به گونه ای ترسیم نمود که ، محور افقی و ، محور قائم آن باشد.

برای آنکه بتوانیم حرکت در دایره موهر و حرکت در واقعیت را با هم، هم جهت نماییم؛ لازم است که دو قرارداد زیر را رعایت نماییم (یعنی اگر در واقعیت برای قرار گرفتن از امتداد   به امتداد  نیاز به حرکت در جهت خلاف عقربه های ساعت باشد؛ برای محقق شدن این هدف در دایره موهر هم باید در جهت خلاف عقربه های ساعت حرکت نماییم.):

قرارداد1:تنش های نرمال زمانی مثبت می باشند که حاصل نیروهای کششی باشند و همچنین تنش های نرمال را زمانی منفی در نظر می گیریم که حاصل نیروهای فشاری باشند. به شکل  توجه کنید.

      

قرارداد2:علامت تنش های برشی فقط برای نمایش در دایره موهر را، با توجه به شکل‌های (B-2) و (B-3) تعیین می نماییم:

نحوه ترسیم دایره موهر تنش

1-در ابتدا لازم است که یک طرح از المان موردنظر که تنش های نرمال و برشی در جهت صحیحشان بر روی آن نمایش داده شده باشند را ترسیم نمایید :

   

2-یک دستگاه مختصات متعامد به گونه ای ترسیم نمایید که محور افقی آن بیانگر  و محور عمودی آن بیانگر  باشد . باید توجه داشت که جهت مثبت محور عمودی () را معمولاً به سمت بالا و جهت مثبت محور افقی () را معمولاً به سمت راست در نظر می گیرند . به شکل (2-C) توجه کنید .

   

3-با توجه به شکل (3-C) دو نقطه X و  Y را بر روی المان در نظر می گیریم و علامت تنش های نرمال و برشی آنها را با توجه به قرارداد بیان شده ، تعیین می نماییم که با توجه به این شکل برای دو نقطه X و Y خواهیم داشت :  و  . حال این دو نقطه را بر روی دستگاه مختصان () مانند شکل (4-C) ترسیم می نماییم. 

4-با اتصال دو نقطه X و Y به هم ، مرکز دایره موهر تنش (نقطه C) بدست می آید . با توجه به شکل (5-C) مرکز دایره موهر محل برخورد محور  و خط واصل X و Y است .

   

5-حال با توجه به معادله دایره می توان از نقطه C (مرکز دایره موهر تنش) دایره ای به شعاع  ترسیم نمود . (همچنین می توان با باز نمودن دهانه پرگار به اندازه پاره خط CX یا CY دایره ای به مرکز C ترسیم نمود که همان دایره موهر خواهد بود . به شکل (6-C) توجه کنید .

   

نکاتی که از بررسی دایره موهر حاصل می شود :

1-همانطور که در شکل هم مشاهده می شود ، هر نقطه روی دایره موهر دارای دو تنش است (یک تنش نرمال و یک تنش برشی) ؛ و از طرفی چون هر صفحه در حالت دو بعدی دارای دو تنش است (یک تنش نرمال و یک تنش برشی) ؛ پس می توان نتیجه گرفت که هر نقطه روی دایره موهر نشان دهنده یک صفحه است .

2-همانطور که در شکل (3-C) مشاهده نمودید نقاط X و Y معرف تنش بر روی صفحاتی هستند که با یکدیگر دارای زاویه 90 درجه هستند ؛ ولی در دایره موهر دارای زاویه 180 درجه هستند ، پس می توان اینگونه نتیجه گرفت که زاویه‌ در واقعیت معادل زاویه  در دایره موهر است .

3-همانطور که می دانیم نقطه X معرف شرایط تنش در صفحه x (امتداد x) و نقطه Y معرف شرایط تنش در صفحه y (امتداد y) عنصر است . (از آنجایی که سطح المان بسیار کوچک در نظر گرفته شده است ؛ می توان این گونه فرض نمود که تنش های موجود در یک نقطه خاص آن سطح بیانگر تنش در کل آن سطح است) پس می توان این گونه نتیجه گرفت که امتداد XY بیانگر شرایط موجود تنش (شرایط اولیه) می‌باشد.

4-حرکت در دایره موهر و حرکت در واقعیت با هم ، هم جهت هستند با این تفاوت که اگر در واقعیت به اندازه  جابجا شویم در دایره موهر به اندازه  باید جابجا شویم .

5-در دایره موهر داریم که  و

6-بزرگترین تنش قائم ممکنه  و کوچکترین آن  می باشد که همراه هر کدام از این تنش های اصلی ، هیچ گونه تنش برشی وجود ندارد .

7-بزرگترین و کوچکترین تنش برشی از لحاظ عددی مساوی با شعاع دایره می باشد (همچنین مساوی با مقدار  هم می باشد) که با هر کدام از این صفحات برشی حداکثر و حداقل ، یک تنش قائم مساوی  وجود دارد .

   

8-اگر  باشد ، دایره موهر تبدیل به یک نقطه می شود و در روی صفحه xy هیچ گونه تنش برشی ظاهر نمی شود . (نظیر فشار ایستایی مایعات)

9-حاصل جمع تنشهای قائم روی هر دو صفحه متعامد ، ثابت است . به عبارت دیگر:

10-با توحه به شکل (7-C) خواهیم داشت :

11-همانطور که در شکل (7-C) هم می توان مشاهده نمود دو  امتداد تنش های برشی ماکزیمم و تنش های نرمال ماکزیمم دارای زاویه 90 درجه هستند . پس در واقعیت این دو امتداد دارای زاویه 45 درجه می باشند .

12-اگر  شود ، مرکز ایره موهر تنش منطبق با مرکز مختصات متعاهد () می شود و حالت برش خالص به وجود می آید .

13-اگر در واقعیت به اندازه زاویه  در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x دور شویم ؛ در دایره موهر باید به اندازه  در خلاف جهت عقربه های ساعت از پاره خط XY مانند شکل (8-C) دور شویم .

حل:

با توجه به شکل خواهیم داشت:

لازم به یاداوری است که علامت تنش ها در روش تحلیلی با توجه به این قرارداد تعیین می‌شود که «تنش ها زمانی مثبت هستند که هم جهت با بردارهای نرمال صفحات مثبت باشند.» و قرارداد 2 بیان شده در صفحه 3 فقط برای نمایش در دایره موهر صادق می باشد.

برای بدست آوردن تنش های اصلی از رابطه (1-2) استفاده می کنیم:

برای بدست آوردن صفحات اصلی از رابه (3-2) استفاده می کنیم:

حال برای آنکه بتوانیم تشخیص بدهیم که در کدام صفحه تنش ماکزیمم و در کدام یک از صفحات تنش مینیمم عمل می کند، باید یکی از زوایای بدست آمده (مانند ) را در رابطه (1-1) قرار دهیم. پس خواهیم داشت:

با توجه به مقدار به دست آمده نتیجه می گیریم که تنش اصلی ماکزیمم در صفحه  ایجاد می شود. در شکل زیر راستای تنش های اصلی بر روی المنا نمایش داده شده است:

   

برای بدست آوردن تنش برشی ماکزیمم از رابطه (1-3) استفاده می کنیم:

همانطور که می دانیم به طور کلی به همراه تنش های برشی ماکزیمم، یک تنش نرمال متوسط وجود دارد که آن را در زیر با استفاده از رابطه (2-3) بدست می آوریم:

برای بدست آوردن صفحاتی که در آنها تنش های برشی، ماکزیمم و مینیمم است از رابطه(3-3) استفاده می کنیم:

حال برای آنکه بتوانیم تشخیص بدهیم که در کدام صفحه تنش برشی ماکزیمم و در کدام یکی از آنها تنش برشی مینیمم خواهیم داشت باید یکی از زوایای بدست آمده (مانند  ) را در رابطه (3-1) قرار دهیم. پس خواهیم داشت:

 با توجه به مقدار به دست آمده نتیجه می گیریم که تنش برشی مینیمم در صفحه  ایجاد می شود. به شکل زیر توجه کنید:

حال تنش های مؤثر حاصل اتز دوران المان با زاویه 30 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت را به صورت زیر بدست می اوریم:

می توان المان دوران یافته را به صورت زیر ترسیم نمود:

در این قسمت با استفاده از روش ترسیمی (استفاده از دایره موهر تنشی) به حل این مثال می‌پردازیم:

برای ترسیم دایره موهر به ترتیب زیر عمل می کنیم:

1-دستگاه مختصات  ترسیم می نماییم.

2-دو نقطه  و  را بر روی دستگاه مختصات مشخص می کنیم.

3-با اتصال این دو نقطه مرکز موهر (C) که بر محور  واقع است بدست می آید. فاصله نقطه C از مبدأ مختصات از رابطه زیر بدست می آید:

4-از نقطه C دایره ای به شعاع R ترسیم می کنیم. در زیر مقدار R  محاسبه شده است:

همچنین می توان با توجه به دایره موهر رابطه زیر را بدست آورد:

   

در اینجا به محاسبه تنش های اصلی و صفحات اصلی می پردازیم:

یعنی اگر قطر  را در جهت عقربه های ساعت به اندازه  بچرخانیم بروی صفحه اصلی قرار می گیریم.

در اینجا به محاسبه تنش های برشی ماکزیمم و مینیمم، صفحات آنها و تنش نرمال مربوطه می پردازیم:

یعنی اگر قطر  را در جهت خلاف عقربه های ساعت به اندازه  بچرخانیم، بروی صفحه ای قرار می گیریم که در آن تنش برشی ماکزیمم است.

حال در اینجا به محاسبه مؤلفه های تنش برای جزء سطحی که به مقدار 30 درجه در خلاف جهت عقربه های ساعت دوران کرده است، می پردازیم:

معادلات دیفرانسیل تعادل

   

یک جزء بینهایت کوچک از جسم باید در حال تعادل باشد. برای حالت دو بعدی، سیستم تنشهایی که در روی جزء بسیار کوچک (1)  عمل می کنند، در شکل 3-5، نشان داده شده است. در این مسئله فرض می شود که ضخامت جزء کوچک در جهت عمود بر صفحة کاغذ، برابر واحد می باشد. توجه شود که در شکل 3-5، امکان رشد تنش از یک وجه جزء کوچک به وجه دیگر آن در نظر گرفته شده است. برای مثال چون ضریب زاویه (شیب) تغییرات  در جهت x برابر  می باشد، مقدار کل تغییرات در فاصله  برابر  می باشد.

از آنجایی که تنش تابعی از x و y می باشد، برای نشان دادن تغییرات تابع در یک جهت از مشتق جزئی استفاده می کنیم.

نیروهای ماند (اینرسی) یا نیروهای کالبدی، مانند نیروهای وزن یا مغناطیسی، توسط حروف x و y نشان داده شده اند و مربوط به واحد حجم مصالح می باشند. با این تعریف داریم:

با ساده کردن رابطه فوق و در نظر گرفتن  می توانیم رابطه اصلی تعادل را در جهت x به دست آوریم. به طریق مشابه می توان معادله تعادل را در جهت y نیز نوشت.

(3-3)                

تعادل لنگری جزء کوچک حول محور z با در نظر گرفتن این موضوع که  می باشد، برقرار است.

برای حالت سه بعدی می توان نشان داد که یکی از سه معادله تعادل به صورت زیر می باشد.

(3-4)                

توجه شود که در تعیین معادلات فوق از خواص مکانیکی مصالح استفاده نشده است. این بدان معنی است که معادلات فوق را می توان برای تمام اجسام بدون توجه به جنس آنها ممکن است ارتجاعی، خمیری و یا ارتجاعی- لزجی باشد، به کار برد. همچنین تذکر این موضوع مهم است که معادلات تعادل برای تعیین تنشهای مجهول کافی نیستند. در مسائل دو بعدی با داشتن دو معادله تعادل سه تنش مجهول  داریم. برای حالت سه بعدی که شش تنش مجهول وجود دارد و تنها 3 معادله تعادل موجود است. بنابراین ستمام مسائل تحلیل تنشها، از لحاظ داخلی نامعین ایستایی هستند.